Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$:

$$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере

Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными)

Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы:
$
A=\left(\begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \\
5 & 4 & -2 & 1 \\
-8 & 11 & -10 & -5
\end{array} \right)$ и

$
B=\left(\begin{array} {cc}
-9 & 3 \\
6 & 20 \\
7 & 0 \\
12 & -4
\end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов:

$
C=\left(\begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32}
\end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc}
0 & 37 \\
-23 & 91 \\
8 & 216
\end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:

Ответ: $C=\left(\begin{array} {cc}
0 & 37 \\
-23 & 91 \\
8 & 216
\end{array} \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$

Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Способ Крамера

Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.

Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

В итоге получают выражения:

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:

Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3…n.

Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.

Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.

Предыдущая
АлгебраЧетность и нечетность функции как определить, примеры решения задач на исследование функции на определение четности и нечетности, условие
Следующая
АлгебраФункция y=k/х свойства и график, область определения функции, коэффициент в графике функции, примеры решения задач

Устройство и принцип работы

Корпус прибора оборудован следующими узлами:

• измерительным модулем;
• микроконтроллером;
• встроенной памятью и питанием;
• устройством отображения данных – жидкокристаллическим дисплеем;
• импульсными выходами;
• блоком управления нагрузкой;
• датчиком, фиксирующим вскрытие, температурным и магнитным;
• катушкой дифференциального тока для исключения опасности хищения ресурсов.

В зависимости от комплектации, изделие может оснащаться модулем для удалённой передачи данных.

Поступающая на прибор электроэнергия фиксируется датчиком тока и напряжения. Сведения анализируются микроконтроллером и выводятся на жидкокристаллический дисплей. Кроме показаний расхода, прибор выводит на дисплей дату по календарю и текущее значение времени суток. Сведения, характеризующие характеристики эксплуатации сети и объём использованных ресурсов может храниться в автономной памяти устройства в течение 10-ти лет.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали

Сейчас важно другое

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=\left$ и $B=\left$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=\left$ и $A=\left$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left$ согласованы всегда.

Ну и что с того?

Векторизуем внутренний цикл (2-й шаг)

1. Компиляторы нынче умные пошли (не все!), и вполне справляются с задачей автовекторизации простых циклов. Уже в 1-м варианте компилятор фактически задействовал инструкции AVX2/FMA, потому ручная оптимизация не дала нам практически никаких преимуществ.
2. Скорость расчетов в данном случае упирается не в вычислителные возможности процессора, а в скорость загрузки и выгрузки данных. В данном случае процессору для задействования 2 256-bit FMA блоков требуется загрузить 4 и выгрузить 2 256-bit вектора за такт. Это в два раза превышает даже пропускную способность L1 кеша процессора (512/256 bit), не говоря уже о пропускной способности памяти, которая еще на порядок меньше (64-bit на канал)).

Снятие показаний

Во время работы аппарат находится в спящем режиме, с отображением на дисплее текущей даты и времени. Для включения режима потребления необходимо нажать кнопку на корпусе и удерживать её в течение 3-х секунд.

Прибор позволяет учитывать показания по 4-м тарифам. Переход отображения показаний между тарифами производится в автоматическом и ручном режиме, нажатием на указанную кнопку.

Для снятия показаний необходимо:

1. Выписать значение расхода по определённому тарифу, исключив дробную составляющую.
2. От записанного числа вычесть данные по прошлому месяцу.
3. Разность умножить на расценку по тарифу.
4. Указанную операцию повторить для каждого тарифного плана.
5. Суммировать полученные значения.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые. Пример 1

Пример 1

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно:

$A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 — 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 — 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Разновидности счётчика

Производитель предлагает более 24 вариантов исполнений прибора, с возможностью индивидуальной комплектации по заказу потребителя.

Расшифровка маркировки счётчика Матрица

Модификации изделия различаются следующими особенностями:

• предназначением для эксплуатации в одно- и трёхфазных электрических цепях(Однофазные счетчики: Матрица NP71E.1-12-1, Матрица NP71E.2-1-5 split, Матрица NP-71E 1-10-1, Матрица NP-523 split; Трёхфазные счетчики: Матрица NP73E.3-14-1, Матрица NP73E.3-5-1, Матрица NP73E.3-17-1, Матрица NP73E.2-12-1, Матрица NP73E.2-6-1, Матрица NP73E.1-10-1, Матрица NP 73E.1-11-1, Матрица NP-73E.2-2-2, Матрица NP-73E.3-6-2);
• токовым диапазоном и величинами номинального напряжения;
• классом точности;
• типом энергии, для измерения которой предназначен прибор – активной и реактивной;
• типом встроенного модема;
• наличием и характеристиками реле.

Изделия могут выполняться в следующих вариантах исполнения:

• базовом;
• стандартном;
• расширенном.

Детальнее о комплектации прибора указано в его паспорте или в каталоге(он находится в конце статьи).

Видеообзор одного из счётчиков Матрица:

Умножение

Предположим, у нас есть такая таблица, которую следует умножить на 12.

Догадливый читатель может легко понять, что метод очень похож на предыдущий. То есть, каждая из ячеек матрицы 1 должна умножаться на 12, чтобы в итоговой матрице каждая ячейка содержала значение, умноженное на этот коэффициент.

При этом важно указывать абсолютные ссылки на ячейки. Итого, получится такая формула

Итого, получится такая формула.

=A1*$E$3

Дальше методика аналогична предыдущей. Нужно это значение растянуть на необходимое количество ячеек. 

Предположим, что необходимо перемножить матрицы между собой. Но есть лишь одно условие, при котором это возможно. Надо, чтобы количество столбцов и строк у двух диапазонов было зеркально одинаковое. То есть, сколько столбцов, столько и строк.

Чтобы было более удобно, нами выделен диапазон с результирующей матрицей. Надо переместить курсор на ячейку в верхнем левом углу и ввести такую формулу =МУМНОЖ(А9:С13;Е9:H11). Не стоит забыть нажать Ctrl + Shift + Enter.

Методы вычисления определителя матрицы

Правило:Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |₁₁| = ₁₁

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =

11 12 21 22

= 11·22 — 12·21

Пример 1. Найти определитель матрицы A

A =

5 7 -4 1

Решение:

det(A) =

5 7 -4 1

= 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило: Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

+		–

∆ =

11 12 13 21 22 23 31 32 33

=

= 
₁₁·₂₂·₃₃ +
₁₂·₂₃·₃₁ +
₁₃·₂₁·₃₂ —
₁₃·₂₂·₃₁ —
₁₁·₂₃·₃₂ —
₁₂·₂₁·₃₃

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило: Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

∆ =

11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32

=

= 
₁₁·₂₂·₃₃ +
₁₂·₂₃·₃₁ +
₁₃·₂₁·₃₂ —
₁₃·₂₂·₃₁ —
₁₁·₂₃·₃₂ —
₁₂·₂₁·₃₃

Пример 2. Найти определитель матрицы A =
571-4123

Решение:

det(A) =
571-4123 =
5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 —
1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их :

det(A) =	Σ	·A	— разложение по -той строке
	= 1

Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

det(A) =	Σ	·A	— разложение по -тому столбцу
	= 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3. Найти определитель матрицы A

A =	2 4 1 2 1 2 1 1

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

det(A) =

2 4 1 2 1 2 1 1

=

= 2·(-1)1+1·
2111
+ 0·(-1)2+1·
4111
+ 2·(-1)3+1·
4121 =

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4. Найти определитель матрицы A
A =
241122113423

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) =
241122113423 =

— 0·
41111323

+ 2·
211213423

— 0·
24121343

+ 0·
24121142 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило: Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5. Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду
A =
2411212113423

Решение:

det(A) = 2411212113423

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 2411212 — 21 — 41 — 13 — 14 — 2·20 — 4·22 — 1·23 — 1·2 =
241121-32-81

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = — 214112-32-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

— 21121121321 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема: Пусть ∆ — определитель -ого порядка. Выберем в нем произвольные строк (столбцов), причем . Тогда сумма произведений всех -ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их равна определителю.

Онлайн калькуляторы с матрицами.
Упражнения с матрицами.

Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Пример 5

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ — 1 & -2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в
которых присутствует операция умножения. Например,

,

где — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц,
то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

или

,

где и —
известные матрицы, — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того,
чтобы решить матричное уравнение вида ,
обе его части следует умножить на обратную к матрицу
слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную
матрицу равно единичной матрице: ,
поэтому

.

Так как — единичная матрица, то
. В результате
получим, что неизвестная матрица равна произведению матрицы,
обратной к матрице , слева, на матрицу :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы
и известной матрицы матрица
находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу,
обратную матрице , и умножать матрицу
на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как. Обратная к
матрица умножается на матрицу
с той стороны, с которой матрица умножается на неизвестную
матрицу

То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной
матрицей находится матрица .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой
части уравнения неизвестная матрица находится в середине
произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева
на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на
матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

,

является

.

Что такое матрицы в математике

Матрица в математике — это абстрактный объект, имеющий вид таблицы чисел или других математических величин. Чаще таблица прямоугольная, но встречаются и другие виды (квадратные, треугольные).

Обычно матрица называется заглавной буквой латинского алфавита: матрица A, матрица B. В таблице есть строки (их количество называется m) и столбцы (их количество называется n). Количество строк и столбцов определяет размер матрицы и может называться порядком. Матрицы такого типа называются матрицами строения m×n, или размера m×n, или порядка m×n.

Элементы матрицы, т.е. числа или остальные величины, называются строчной буквой. Они имеют 2 нижних индекса, необходимых для определения их положения в матрице. Например, элемент a13 располагается на пересечении 2 строки и 3 столбца. Значения элемента а13 читаются по-отдельности, не как целое число: «а один-три».

Откуда они взялись и чем полезны

Первые упоминания матрицы появились в Древнем Китае. Это была квадратная таблица, получившая название магического или волшебного квадрата. Самым древним и известным считается квадрат 3×3, датируемый около 2200 г до н.э. Он был высечен на панцире черепахи. В Китае его называют квадрат Ло Шу, а в Западной Европе — «Печать Сатурна».

Таким же древним является квадрат, найденный в Кхаджурахо, столице средневекового государства Чандела (IX–XIII вв.) в Центральной Индии. Это первый из «дьявольских квадратов». Также он называется пандиагональным.

В древности матрицы были необходимы преимущественно для решения линейных уравнений. Когда матрицы появились в арабских странах, стали разрабатываться принципы работы с ними, в том числе, принцип сложения. В XVIII веке швейцарский математик, «отец линейной алгебры» Габриэль Крамер опубликовал правило Крамера. Это способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы.

Способ Крамера не подходит для решения тех систем линейных уравнений, в которых может быть бесконечное множество решений.

В следующем веке появляется метод немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Этот способ решения алгебраических уравнений не является открытием ученого. Впервые о методе Гаусса написали в китайском трактате «Математика в девяти книгах», а сам он только привел способ в удобную форму.

Для решения уравнений таким способом необходимо записать расширенную матрицу системы.

В отличие от метода Крамера, правило Гаусса можно использовать для решения любых систем линейных уравнений.

Детальная разработка теории матриц активно продолжилась с середины XIX века. Наиболее значимые ученые: Уильям Гамильтон, Артур Кэли, Карл Вейерштрасс, Мари Энмон Камиль Жордан, Фердинанд Георг Фробениус.

Сам термин «матрица» предложил английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г.

В наше время матрицы используются не только для записи и решения систем линейных уравнений. Списки, статистические данные, табеля с информацией — все это в какой-то степени матрица. Их применяют для упрощения подачи и работы с информацией в любой сфере. Например, таблица продаж, где указан год (первый столбец), вид продукции (первая строка), а остальные значения — количество проданных единиц.

Что можно делать с матрицами

В целом, есть огромное количество действий, применение которых возможно для матриц. Давайте каждое из них рассмотрим более подробно.

Транспонирование

Многие люди не понимают значения этого термина. Представьте, что вам нужно поменять строки и колонки местами. Вот это действие и называется транспонированием. 

Перед тем, как это осуществить, необходимо выделить отдельную область, которая имеет такое же количество строчек, сколько столбцов есть у исходной матрицы и такое же количество столбцов. Чтобы более наглядно понять, как это работает, посмотрите на этот скриншот.

Далее есть несколько методов, как можно осуществить транспонирование. 

Первый способ следующий. Для начала нужно выделить матрицу, после чего скопировать ее. Далее выделяется диапазон ячеек, куда должен быть вставлен транспонированный диапазон. Далее открывается окно «Специальная вставка».

Там есть множество операций, но нам нужно найти радиокнопку «Транспонировать». После совершения этого действия нужно подтвердить его нажатием клавиши ОК.

Есть еще один способ, с помощью которого можно транспонировать матрицу. Сперва надо выделить ячейку, расположенную в верхнем левом углу диапазона, отведенного под транспонированную матрицу. Далее открывается диалоговое окно с функциями, где есть функция ТРАНСП. Ниже в примере вы более подробно узнаете, как это сделать. В качестве параметра функции используется диапазон, соответствующий изначальной матрице.

После нажатия кнопки ОК сначала будет показано, что вы допустили ошибку. Ничего в этом страшного нет. Все потому, что вставленная нами функция не определена, как формула массива. Поэтому нам нужно совершить такие действия:

1. Выделить набор ячеек, отведенных под транспонированную матрицу.
2. Нажать клавишу F2.
3. Нажать на горячие клавиши Ctrl + Shift + Enter.

Главное достоинство метода заключается в способности транспонированной матрицы сразу корректировать содержащуюся в ней информацию, как только вносятся данные в изначальную. Поэтому рекомендуется использовать именно данный способ.

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (, , ), десятичные дроби (, , ), а также числа в экспоненциальной форме (, ).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки (, , , ) для перемещения по элементам

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы в основном включает в себя переворачивание матрицы по соответствующим диагоналям, т. е. Меняет местами строки и столбцы входной матрицы. Строки становятся столбцами и наоборот.

Например: давайте рассмотрим матрицу A с размерами 3 × 2, т.е. 3 строки и 2 столбца. После выполнения операции транспонирования размеры матрицы A будут 2 × 3, т.е. 2 строки и 3 столбца.

основном выполняет транспонирование входной матрицы и создает новую в результате операции транспонирования.

Пример:

import numpy
 
matA = numpy.array()
print("Original Matrix A:\n")
print(matA)
print('\nDimensions of the original MatrixA: ',matA.shape)
print("\nTranspose of Matrix A:\n ")
res = matA.T
print(res)
print('\nDimensions of the Matrix A after performing the Transpose Operation:  ',res.shape)

Выход:

Original Matrix A:


 ]

Dimensions of the original MatrixA: (2, 5)

Transpose of Matrix A:
 

 
 
 
 ]

Dimensions of the Matrix A after performing the Transpose Operation: (5, 2)

В приведенном выше фрагменте кода я создал матрицу размером 2 × 5, т.е. 2 строки и 5 столбцов.

После выполнения операции транспонирования размеры результирующей матрицы составляют 5 × 2, то есть 5 строк и 2 столбца.

Подключение счётчика

Счётчик может устанавливаться тремя способами:

• с помощью ДИН-рейки;
• на три винта;
• на натянутый трос.

Установку прибора должен производить квалифицированный электромонтёр с группой электробезопасности не ниже II.

Предварительно выполняется крепление, затем фиксируется аппарат. Открывается крышка клеммного отсека и подсоединяются провода, согласно схеме, указанной в паспорте изделия или на корпусе устройства.

После монтажа и подключения проверяется работоспособность устройства и настройка его представителем поставщика электроэнергии с заданием необходимых параметров.

Затем изделие подлежит пломбированию. Факт пуска в работу фиксируется представителем коммунальной организации записью в паспорте изделия.

Каталог счётчиков Матрица(все счётчики их описание, схемы подключения размеры и тд.): Смотреть

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\\cdot \left=\left\]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

\

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

\}^{n}}=\left\]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

1. Определитель
2. Обратная матрица
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
4. Площадь круга
5. Как считать логарифмы еще быстрее
6. Вебинар по заданию 13: тригонометрия

Что осталось за кадром?

1. В реальности, к сожалению, размер матриц не всегда кратен размерам микроядра, потому края матриц приходится обрабатывать особым образом. Для чего приходится реализовывать микроядра разных размеров.
2. Для разных типов процессоров реализуются разные наборы микроядер и функций переупорядочивания. Также свои микроядра будет для чисел с двойной точностью и для комплексных чисел. К счастью, зоопарк микроядер ограничен только ими и на верхнем уровне код достаточно универсальный.
3. Микроядра часто пишут прямо на ассемблере. Также проводят дополнительное разворачивание циклов. Но это не приводит к существенному ускорению — основные оптимизации заключаются в эффективном использовании кэшевой иерархии памяти процессора.
4. Для матриц малого размера (по любому измерению) применяют особые алгоритмы — иногда переупорядочивание не эффективно, иногда нужно применять другой порядок обхода матриц. А иногда и реализовывать особые микроядра.
5. В обобщенном алгоритме матричного умножения все три матрицы могут быть транспонированы. Казалось бы число возможных алгоритмов возрастает в 8 раз! К счастью применение переупорядочивания входных данных, позволяет для всех случаев обойтись унивесальными микроядрами.
6. Практически все современные процессоры — многоядерны. И библиотеки матричного умножения используют многопоточность для ускорения вычислений. Обычно для этого используется еще 1-3 дополнительных цикла, в которых происходит разбиение задач по разным потокам.