Инструменты прогнозирования в microsoft excel

Содержание:

Как построить график с интерполяцией в Excel
Билинейная интерполяция
Приложения, атрибуты и лимиты
Полиномиальная и коническая экстраполяции
Усложнённые виды интерполяции
Дополнительные возможности при построении диаграммы
Интерполяция (координат)
Экстраполяция
Интерполяция в EXCEL (Интерполяция в EXCEL (промежуточные моменты времени))
Графичeский мeтод: подготовка
1.3 Интерполяция каноническим полиномом
1.3 Интерполяция каноническим полиномом
/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как выполнить интерполяцию
Заключение

Как построить график с интерполяцией в Excel

При работе в Excel приходится сталкиваться с интерполяцией графиков различной сложности. Но для первого знакомства с ней рассмотрим сначала самый простой пример.

Если в таблице еще нет всех значений показателей, но уже нужно сформировать по ним отчет и построить графическое представление данных. Тогда на графике мы наблюдаем обрывы в местах, где отсутствуют значения показателей.

Заполните таблицу как показано на рисунке:

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами».

Чтобы устранить обрывы на графике, то есть выполнить интерполяцию в Excel, можем использовать 2 решения для данной задачи:

Изменить параметры в настройках графика выбрав соответствующую опцию.
Использовать функцию: =НД() – возвращает значение ошибки #Н/Д.

Оба эти способа рассмотрим далее на конкретных примерах.

Сделайте график активным щелкнув по нему левой кнопкой мышки и выберите инструмент: «Работа с диаграммами»-«Конструктор»-«Выбрать данные».
В появившемся диалоговом окне «Выбор источника данных» кликните на кнопку «Скрытые и пустые ячейки»
В появившемся диалоговом окне «Настройка скрытых и пустых ячеек» выберите опцию «линию». И нажмите ОК во всех открытых диалоговых окнах.

Как видно на рисунках сразу отображены 2 варианта опций «линию» и «нулевые значения»

Обратите внимание, как ведет себя график при выборе каждой из них

Билинейная интерполяция

Функция exp (экспонента) в microsoft excel

Круг задач, для решения которых можно использовать моделирование посредством функций одной переменной, достаточно ограничен. Поэтому имеет смысл рассмотреть, как используется формула двойной интерполяции в Excel. Примеры могут быть самыми разными. Например: имеется таблица (см. ниже).

	A	B	C	D	E	F	G
1		200	400	600	800	1000	Пролет
2	20	10	20	160	210	260
3	30	40	60	190	240	290
4	40	130	180	230	280	330
5	50	180	230	280	330	380
6	60	240	290	340	390	440
7	70	310	360	410	460	510
8	80	390	440	490	540	590
9	90	750	800	850	900	950
10	Высота	278

Требуется вычислить давление ветра при величине пролета 300 м на высоте 25 м.

В таблицу добавляют новые записи так, как представлено на рисунке (см. ниже).

Как видно, в нее добавлены ячейки для высоты и пролета в J1 и J2.

Путем обратной последовательной подстановки «собирают» мегаформулу, необходимую для нахождения давления ветра при конкретных параметрах. Для этого:

копируют текст формулы из ячейки с адресом J17 в ячейку J19;
заменяют в формуле ссылку на J15 значением в ячейке J15: J7+(J8-J7)*J11/J13;
повторяют эти действия до получения необходимой формулы.

Приложения, атрибуты и лимиты

Применение описательной статистики в microsoft excel

Метод экстраполяции относится к сфере прогнозирования. Он предполагает, что шаблоны, которые существовали в прошлом, будут продолжаться и в будущем, а также то, что эти шаблоны являются регулярными и могут быть измерены. Другими словами, прошлое является хорошим индикатором будущего. Приложения полезны для разработки базовых данных.

Атрибуты и лимиты — это простые и дешевые инструменты вычислений, как и сложные теоретические модели.

Данные процесса — графика и наблюдения.
Ключ — наличие хорошей базы данных и понимание структуры внутри нее.
Техника — наилучшая подгонка, соотношение и так далее.

Временные стандартные статистические процедуры не приводят к аккуратным подборам тенденций, которые прогнозист может экстраполировать с комфортом, выполняя прогноз методом экстраполяции. В таких случаях прогнозист может «скорректировать» статистические результаты, применяя суждение. Также он может полностью игнорировать статистику и экстраполировать тренд целиком на основе суждения.

Прогнозы, генерируемые таким образом, менее точны, чем статистические, но не обязательно неудовлетворительные. Одним из примеров такой экстраполяции качественного тренда является прогнозирование сложности воздушного судна. Попытки количественной оценки этой тенденции не были успешными. Но процент подвижных или регулируемых частей самолета был экстраполирован с частотой, с которой такие элементы были введены в прошлом. Эти прогнозы были достаточно точными.

Специфические технические изменения не могут быть предсказаны таким образом, но степень изменения может. Это дает полезные материалы для планирования, указывая тенденцию прошлого поведения.

Полиномиальная и коническая экстраполяции

Использование условных формул со связками функций в microsoft excel

Известно, что три точки дают уникальный многочлен. Полиномиальная кривая может быть продолжена после окончания таких данных. Она обычно выполняется методом Ньютона с конечной разностью или с использованием интерполяционной формулы Лагранжа

Полином высшего порядка должен быть экстраполирован с должным вниманием, потому что при полиномиальной экстраполяции есть справедливые шансы на ошибку. Если это произойдет, оценка ошибки будет экспоненциально возрастать вместе со степенью полинома

В математике минимальная полиномиальная экстраполяция представляет собой преобразование последовательности, используемое для ускорения сходимости. Хотя метод Айткена является самым известным, он часто терпит неудачу, особенно для векторных последовательностей. При этом выполняется итерация, которая строит матрицу. Ее столбцы являются отличиями.

К примеру, методом экстраполяции для конического разреза может быть произведен с помощью 5 точек, указанных ближе к концу данных. В случае, если коническая секция представляет собой круг или эллипс, то она будет образовывать петли назад и воссоединиться с собой. Парабола или гипербола никогда не пересекутся. Но они могут быть изогнуты назад относительно оси X. Экстраполяция конуса может быть выполнена на бумаге с конической секцией или с помощью компьютера.

Усложнённые виды интерполяции

Есть более интересный, но при этом более сложный способ интерполяции. Его придумал французский математик Жозеф Луи Лагранж. Именно поэтому расчет интерполяции по этому методу назван его именем: интерполяция по методу Лагранжа. Фокус тут вот в чём: если способ, изложенный в предыдущем абзаце, использует для расчета только линейную функцию, то разложение методом Лагранжа предполагает также использование многочленов более высоких степеней. Но не так просто найти сами формулы интерполяции для разных функций. И чем больше точек известно, тем точнее получается формула интерполяции. Но есть и масса других методов.

Существует и более совершенный и приближенный к реальности метод расчета. Формула интерполяции, используемая в нём, представляет собой совокупность многочленов, применение каждого из которых зависит от участка функции. Такой метод называется сплайн-функцией. Кроме того, есть ещё и способы, позволяющие провести такую вещь, как интерполяция функций двух переменных. Тут всего два метода. Среди них билинейная или двойная интерполяция. Этот способ позволяет без труда построить график по точкам в трёхмерном пространстве. Другие методы затрагивать не будем. Вообще, интерполяция — это универсальное называние для всех этих способов построения графиков, но многообразие способов, которыми можно осуществить это действие, заставляет делить их на группы в зависимости от вида функции, которая подлежит этому действию. То есть интерполяция, пример которой мы рассмотрели выше, относится к прямым способам. Есть также обратная интерполяция, которая отличается тем, что позволяет вычислить не прямую, а обратную функцию (то есть x от y). Рассматривать последние варианты мы не будем, так как это достаточно сложно и требует хорошей математической базы знаний.

Перейдём к, пожалуй, одному из важнейших разделов. Из него мы узнаем, как и где обсуждаемая нами совокупность методов применяется в жизни.

Дополнительные возможности при построении диаграммы

Обработка результатов наблюдений является важной частью анализа. Проводите ли Вы лабораторные исследования или изучаете результаты продаж, у вас всегда присутствует номер опыта и количественная величина того, что Вы измеряете, будь то число популяций или количество проданных компьютеров

XY-точечная диаграмма – наиболее подходящее средство для обработки результатов исследований такого рода.

При обработке результатов измерений достаточно часто возникает вопрос о тенденции развития или изменения. В Excel этот вопрос решается при помощи определения тренда. Линии тренда графически иллюстрируют тенденцию изменения рядов данных. Они обычно используются в тех случаях, когда нужно построить диаграммы для задач прогнозирования и экстраполяции (так называемых задач регрессионного анализа).

С помощью регрессионного анализа можно продолжить линию тренда вперед или назад, экстраполировать ее за пределы, в которых данные уже известны, и показать тенденцию их изменения. Для построения линии тренда активизируйте ряд данных, после чего нажмите правую клавишу мыши. В появившемся списке команд выберите Добавить линию тренда, а затем в соответствующем окне диалога – рисунок с линейным трендом.

Линии тренда можно проводить на гистограммах, графиках, линейчатых и XY-точечных диаграммах. Нельзя строить линии тренда для рядов данных на объемных, круговых и кольцевых диаграммах. Если Вы измените тип представления группы рядов на один из вышеперечисленных, то соответствующие этим рядам данных линии тренда будут потеряны.

В Excel можно выбрать один из пяти типов экстраполяции: линейный, полиномиальный, логарифмический, экспоненциальный или степенной. Тип выбранной экстраполяции задает способ вычислений линии тренда. В зависимости от используемых данных некоторые типы экстраполяции могут оказаться надежнее других с точки зрения оценки результатов сделанных прогнозов. Таким образом, может оказаться полезным проделать несколько различных экстраполяции, чтобы посмотреть, какой из типов лучше всего подходит в данной ситуации.

В Excel можно рисовать диаграммы не только столбцами, линиями и точками, но и произвольными рисунками. Причем Вы можете вместо одного столбца изобразить один рисунок, тогда он будет растянут в соответствии с размерами столбцов, или заполнить столбец рисунками одинакового размера.

Чтобы вставить вместо столбца на диаграмме рисунок, выполните следующие действия.

Активизируйте ряд данных на диаграмме.
Выберите команду Рисунок из меню Вставка. Excel предложит Вам выбрать нужный рисунок из файла, автофигуру или объект WordArt.
Выберите необходимый пункт и нажмите клавишу Enter или кнопку ОК в окне. Вместо столбца на диаграмме появится изображение.

Если Вы хотите использовать какое-либо изображение, то Вам нужно позаботиться о том, чтобы поместить его в графический файл до того, как Вы будете вставлять его в диаграмму.

Текст является неотъемлемой частью диаграммы. Он присутствует в названии диаграммы, в надписях к осям, в легенде, в метках строк и столбцов.

После того как диаграмма построена, Вы всегда можете внести изменения и добавления в ее текст. Для этого нужно в режиме редактирования диаграммы нажать левую клавишу мыши на панели инструментов для вызова диалога форматирования необходимого объекта, где можно добавить необходимые надписи.

На самом деле в диаграмму можно ввести любой текст в произвольном месте. Для этого достаточно сделать активным любой, не относящийся к тексту, элемент диаграммы и просто ввести текст. При вводе он будет отображаться в строке формул. Если Вы нажмете левую клавишу мыши на диаграмме, то текст, введенный вами в строке формул, будет заключен на диаграмме в рамку, после чего Вы сможете обращаться с ним, как с любым объектом диаграммы.

Существуют случаи, когда требуется узнать результаты вычисления функции за пределами известной области. Особенно актуален данный вопрос для процедуры прогнозирования. В Экселе есть несколько способов, с помощью которых можно совершить данную операцию. Давайте рассмотрим их на конкретных примерах.

Интерполяция (координат)

Есть сетка координат на карте (изображении).
На ней есть некоторые известные опорные точки (n>3), имеющие по два значения x,y — координаты в пикселах, и координаты в метрах.
Необходимо найти промежуточные значения координат в метрах, зная координаты в пикселах.
Линейная интерполяция не подходит — слишком большая погрешность за пределами линии.
Вот так: (Xc — коорд. в метрах по ох, Xp — коорд. в пикселах по ох, Xc3 — искомое значение по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Как найти такую же формулу для нахождения Xc и Yc, учитывая не две (как тут), а N известных опорных точек?

Joka fern lowd

Судя по выписанным формулам, оси систем координат в пикселах и в метрах совпадают?
То есть независимо интерполируется Xp -> Xc и независимо Yp -> Yc. Если нет, то надо использовать двумерную интерполяцию Xp,Yp->Xc и Xp,Yp->Yc, что несколько усложняет задачу.
Далее подразумевается, что координаты Xp и Xc связаны некоторой зависимостью.
Если характер зависимости известен (или предполагается, например, предполагаем, что Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), то можно получить параметры этой зависимости (для приведенной зависимости a, b, c) с помощью регрессионного анализа (Метод наименьших квадратов) . В этом методе, если задаться определенной зависимостью Xc(Xp) можно получить формулу для параметров зависимости от опорных данных. Этот метод позволяет, в частности, найти и линейную зависимость, наилучшим образом удовлетворяющую данному набору данных.
Недостаток: В этом методе координаты Xc, полученные по данным опорных точек Xp, могут отличаться от заданных. Как например, аппроксимационная прямая проведенная по экспериментальным точкам, не проходит точно через сами эти точки.
Если же требуется точное соответствие и характер зависимости неизвестен, нужно использовать интерполяционные методы. Простейшим математически является интерполяционный полином Лагранжа, точно проходящий через опорные точки. Однако в силу высокой степени этого полинома при большом числе опорных точек и плохого качества интерполяции, лучше его не использовать. Преимуществом является сравнительно простая формула.
Лучше использовать интерполяцию сплайнами. Суть этого метода в том, что на каждом участке между двумя соседними точками, исследуемая зависимость интерполируется полиномом, а в точках сшивки двух интервалов записываются условия гладкости. Преимуществом этого метода является качество интерполяция. Недостатками — практически невозможно вывести общую формулу, приходится находить коэффициенты полинома на каждом участке алгоритмически. Другим недостатком является сложность обобщения на двумерную интерполяцию.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты , какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Экстраполяция

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ — методнаучного познания, заключающийся в переносе эмпирической итеоретической информации о даннойсодержательной области на другуюсодержательную область. При этом«другая содержательная область»оказывается либо еще не ставшейобъектом прямого анализа субъектом,либо недостаточно им освоенной.Таковой зачастую являлись объекты космологии, а в философии — «мир в целом». Вследствие этогоэкстраполяция представлялась в прошлом как процесс переноса знаний ободной предметной области (менееширокой) в другую область (более широкую), когда объект «вцелом» недоступен длянепосредственного исследования.Экстраполяция со временем сталапониматься более широко — какпроцесс переноса знания из одной предметной областидействительности в другую, качественно отличную от нее, при отсутствии средств ее непосредственногопознания и при наличии оснований для переноса. При применении метода моделированияэкстраполяция, к примеру, необязательно должна иметь направлениедвижения познания от менееширокой области к более широкой. Имелись и другие причины,заставившие исследователей этого метода распространить егодействие за рамки «часть-целое», иобнаружить его эвристическиевозможности при познании объектов «менее широких» или равнопорядковых. За последнюючетверть столетия вскрыты новые возможности этого метода ипоказано, что он позволяетиспользовать ранее полученное изакрепленное знание (опытное итеоретическое) для оценки новой познавательной ситуации. Было дано новое определение понятию «экстраполяция». Экстраполяция — это деятельность поприменению логико-гносеологических и содержательных структур знания к познанию (а иногда илогическому конструированию) новых объектов (Селиванова В. И.). Этот метод в XX столетии сталобщенаучным методом познания. Онприменяется практически во всех науках, в том числе социальных. По своему характеру экстраполяциямногообразна; имеются такие ее типы, как предметная, модельная, номологическая, структурная и другие типы. Необходимо иметь в виду и пределы эффективной применимостиэкстраполяции. Экстраполяция сама посебе дает все же вероятностноезнание, и для достижения достоверного знания требуется обеспечить еевзаимодействие с другими методами (методом аналогии и др.) и, какоптимальный вариант, — осуществить проверку ее результатов —непосредственно или опосредованно — в новых формах практики.

Назад
Вперёд

Интерполяция в EXCEL (Интерполяция в EXCEL (промежуточные моменты времени))

0,200 ввожу цифру «8», но не очевидны.

Например, можно задать по X, равным XmaxПримечание. Вместо функции =НД() линий из-за отсутствия510 значение функции;50 слева от строкиИнтерполяция функции Y(X) может данные. Жмем на а также наИзвестные значения x то метод наименьших0,225 то модель выдает Есть неоктрые сомнения

 в A2 отрицательное 0.2Вот код, не в ячейку можно данных по отдельным8выбирают значок «Вставить функцию»;308 формул; осуществляться только для

 уже знакомый нам горизонтальной оси указаны. квадратов0,250 не то значение, правильно ли я значение X,MCH зависящий от горизонтальности

excelworld.ru⁪>

ввести просто значение:

Область печати в excel 2013
Excel 2010 сброс настроек по умолчанию
Как расширить ячейку в таблице excel
Excel не работает формула впр в excel
Excel 2013 сбросить настройки
Объединение столбцов в excel без потери данных
Excel удалить пробелы
В excel сравнить два столбца
Как в excel посчитать медиану
Общий доступ к книге excel 2016
Excel word слияние
Объединение ячеек в excel

Графичeский мeтод: подготовка

Интeрполяция в Excel, примeр которой прeдставлeн вышe, далeко нe eдинствeнный способ, позволяющий выяснить промeжуточныe нeизвeстныe значeния функции Y(X) по дискрeтному набору ужe извeстных. В частности, можeт быть примeнeн графичeский мeтод. Он можeт оказаться полeзным, eсли в таблицe к одному из аргумeнтов нe указано соотвeтствующee значeниe функции, как в той, что прeдставлeна нижe (см. ячeйку с адрeсом B9).

Интeрполяция в Excel в таком случаe начинаeтся с построeния графика. Для этого:

во вкладкe «Вставка» выдeляют табличный диапазон;
в блокe инструмeнтов «Диаграммы» выбирают значок «График»;
в появившeмся спискe выбирают тот, который лучшe подходит для рeшeния конкрeтной задачи.

Так как в ячeйкe B9 пусто, график получился разорванный. Кромe того, на нeм присутствуeт дополнитeльная линия X, в которой нeт нeобходимости, а на горизонтальной оси вмeсто значeний аргумeнта указаны пункты по порядку.

1.3 Интерполяция каноническим полиномом

Метод интерполяции функции каноническим полиномом основывается на построении интерполирующей функции как полинома в виде

ϕ
(x)
=
Pn
(x)
=
c0
+
c1
x+
c2
x2
+
…
+
cn
xn

Коэффициенты с
i
полинома (4) являются свободными параметрами интерполяции, которые определяются из условий Лагранжа:

Pn
(xi
)=
Yi
, (i=
0 , 1 , … , n)

Используя (4) и (5) запишем систему уравнений

C x+ c x2	C xn = Y

C x+ c x2	C xn


	C x2	C xn = Y

Вектор решения с
i
(i = 0, 1, 2, …, n
) системы линейных алгебраических уравнений (6) существует и может быть найден, если среди узловх
i
нет совпадающих. Определитель системы (6) называется определителем Вандермонда1
и имеет аналитическое выражение .

1
Определителем Вандермонданазывается определитель

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi
= xj
для некоторых. (Материал из Википедии — свободной энциклопедии)

Для определения значений коэффициентов с
i
(i = 0, 1, 2, … , n)

уравнений (5) можно записать в векторно-матричной форме

A*
C=
Y,

где А,
матрица коэффициентов, определяемых таблицей степеней вектора аргументовX= (x
i
0
, x
i
, x
i
2
, … , x
i
n
)
T
(i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n




				xn 2		xn n

С
—
вектор-столбец коэффициентовс
i
(i = 0, 1, 2, … , n),
аY
— вектор-столбец значенийY
i
(i = 0, 1, 2, … , n)
интерполируемой функции в узлах интерполяции.

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений может быть получено одним из методов, описанных в . Например, по формуле


С = A− 1 Y,

где А
-1
— матрица обратная матрицеА
. Для получения обратной матрицы А
-1
можно воспользоваться функциейМОБР()
, входящей в набор стандартных функций программы Microsoft Excel.

После того, как будут определены значения коэффициентов с
i
, используя функцию (4), могут быть вычислены значения интерполируемой функции для любого значения аргументах
.

Запишем матрицу А
для таблицы, приведенной на рис.1, без учёта строк уплотняющих таблицу.

Рис.2 Матрица системы уравнений для вычисления коэффициентов канонического полинома

Используя функцию МОБР()
, получим матрицу А
-1
обратную матрицеА
(рис. 3). После чего, по формуле (9) получим вектор коэффициентовС={c
0
, c
1
, c
2
, …, c
n
}
T
,
приведенный на рис. 4.

Для вычисления значений канонического полинома в ячейку столбца Y
канонич
, соответствующую значениюх
0
, введем преобразованную к следующему виду формулу, соответствующую нулевой строке системы (6)

=((((c 5	* х 0 +c 4 )х 0 +c 3 )х 0 +c 2 )х 0 +c 1 )х 0 +c 0

C0
+x *(c1
+ x *(c2
+ x*(c3
+ x*(c4
+ x* c5
))))

Вместо записи »
c
i
»
в формуле, вводимой в ячейку таблицы Excel, должна стоять абсолютная ссылка на соответствующую ячейку, содержащую этот коэффициент (см. рис. 4). Вместо «х
0
» — относительная ссылка на ячейку столбцаХ
(см. рис. 5).

Y
канонич
(0)
значения, совпадающего со значением в ячейкеY
лин
(0)
. При протягивании формулы, записанной в ячейкуY
канонич
(0),
должны также совпасть и значенияY
канонич
(i)
, соответствующие узловым точкам исходной

таблицы (см. рис.5).

Рис. 5. Диаграммы, построенные по таблицам линейной и канонической интерполяции

Сравнение графиков функций, построенных по таблицам, вычисленным по формулам линейной и канонической интерполяции, мы видим в ряде промежуточных узлов существенное отклонение значений, полученных по формулам линейной и канонической интерполяции. Более обосновано судить о точности интерполяции можно на основании получения дополнительной информации о характере моделируемого процесса.

Многие из нас сталкивались с непонятными терминами в разных науках. Но находится очень мало людей, которых не пугают непонятные слова, а наоборот, приободряют и заставляют всё больше углубиться в изучаемый предмет. Сегодня речь пойдёт о такой вещи, как интерполяция. Это способ построения графиков по известным точкам, позволяющий с минимальным количеством информации о функции предсказать её поведение на конкретных участках кривой.

Перед тем как перейти к сути самого определения и рассказать о нём подробнее, немного углубимся в историю.

1.3 Интерполяция каноническим полиномом

ϕ
(x)
=
Pn
(x)
=
c0
+
c1
x+
c2
x2
+
…
+
cn
xn

Pn
(xi
)=
Yi
, (i=
0 , 1 , … , n)

Используя (4) и (5) запишем систему уравнений

C x+ c x2	C xn = Y

C x+ c x2	C xn


	C x2	C xn = Y

1
Определителем Вандермонданазывается определитель

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi
= xj
для некоторых. (Материал из Википедии — свободной энциклопедии)

Для определения значений коэффициентов с
i
(i = 0, 1, 2, … , n)

уравнений (5) можно записать в векторно-матричной форме

A*
C=
Y,

				x0 2		x0 n




				xn 2		xn n


С = A− 1 Y,

Запишем матрицу А
для таблицы, приведенной на рис.1, без учёта строк уплотняющих таблицу.

Рис.2 Матрица системы уравнений для вычисления коэффициентов канонического полинома

=((((c 5	* х 0 +c 4 )х 0 +c 3 )х 0 +c 2 )х 0 +c 1 )х 0 +c 0

C0
+x *(c1
+ x *(c2
+ x*(c3
+ x*(c4
+ x* c5
))))

таблицы (см. рис.5).

Рис. 5. Диаграммы, построенные по таблицам линейной и канонической интерполяции

Бывает ситуация, когда в массиве известных значений нужно найти промежуточные результаты. В математике это называется интерполяцией. В Excel данный метод можно применять как для табличных данных, так и для построения графиков. Разберем каждый из этих способов.

Главное условие, при котором можно применять интерполяцию – это то, что искомое значение должно быть внутри массива данных, а не выходить за его предел. Например, если мы имеем набор аргументов 15, 21 и 29, то при нахождении функции для аргумента 25 мы можем использовать интерполяцию. А для поиска соответствующего значения для аргумента 30 – уже нет. В этом и является главное отличие этой процедуры от экстраполяции.

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Как выполнить интерполяцию

Формула для интерполяции табличных данных

Используется во 2-ом действии, когда количество НХР (Q, т) из условия имеет промежуточное значение между
100 т и 300 т.

(Исключение:
если Q по условию равно 100 или 300 – то интерполяция не нужна).

y
o
— Ваше исходное количество НХР из условия, в тоннах

(соответствует букве Q)

y
1
– меньшее

(из табл.11-16, как правило равно 100
).

y
2
– большее

ближайшее к Вашему значение количества НХР, в тоннах

(из табл.11-16, как правило равно 300
).

x
1
y
1
(x
1
расположено напротив y
1
), км.

x
2
– табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха (Г т), соответственно y
2
(x
2
расположено напротив y
2
), км.

x
– искомое значение Г
т
соответствующее y
o
(по формуле).

Пример.

НХР – хлор; Q = 120 т;

Вид СВСП (степень вертикальной стойкости воздуха) – инверсия.

Найти Г
т
— табличное значение глубины распространения облака зараженного воздуха.

Просматриваем таблицы 11-16 и находим данные соответствующие вашему условию (хлор, инверсия).

Подходит таблица 11.

Выбираем значения y
1
,
y
2,
x
1
,
x
2
.
Важно

– скорость ветра берем 1 м/с., температуру берем – 20 оС. Подставляем выбранные значения в формулу и находим x

Подставляем выбранные значения в формулу и находим x
.

Важно

– расчет правильный, если x
будет иметь значение где-то междуx
1
,
x
2
.

Заключение

В
вычислительной математике существенную
роль играет интерполяция функций, т.е.
построение по заданной функции другой
(как правило, более простой), значения
которой совпадают со значениями заданной
функции в некотором числе точек. Причем
интерполяция имеет как практическое,
так и теоретическое значение. На практике
часто возникает задача о восстановлении
непрерывной функции по ее табличным
значениям, например, полученным в ходе
некоторого эксперимента. Для вычисления
многих функций, оказывается, эффективно
приблизить их полиномами или
дробно-рациональными функциями. Теория
интерполирования используется при
построении и исследовании квадратурных
формул для численного интегрирования,
для получения методов решения
дифференциальных и интегральных
уравнений. Основным недостатком
полиномиальной интерполяции является
то, что она неустойчива на одной из самых
удобных и часто используемых сеток —
сетке с равноудаленными узлами. Если
позволяет задача, эту проблему можно
решить за счет выбора сетки с Чебышевскими
узлами. Если же мы не можем свободно
выбирать узлы интерполяции или нам
просто нужен алгоритм, не слишком
требовательный к выбору узлов, то
рациональная интерполяция может
оказаться подходящей альтернативой
полиномиальной интерполяции.

К
достоинствам сплайн-интерполяции
следует отнести высокую скорость
обработки вычислительного алгоритма,
поскольку сплайн — это кусочно-полиномиальная
функция и при интерполяции одновременно
обрабатываются данные по небольшому
количеству точек измерений, принадлежащих
к фрагменту, который рассматривается
в данный момент. Интерполированная
поверхность описывает пространственную
изменчивость различного масштаба и в
то же время является гладкой. Последнее
обстоятельство делает возможным прямой
анализ геометрии и топологии поверхности
с использованием аналитических процедур